Question

某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得a=

1-(0.005+0.0075+0.0225+0.035)×10

10

=0.1-0.07=0.03，
所以a=0.03．…（2分）
（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，
成绩在[50，70）内的学生共有11人．…（4分）
设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A，
…（5分）
则P(A)=

C 39

C 311

=

28

55

．…（7分）
所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为

28

55

．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3．…（8分）P(X=1)=

C 22 C 19

C 311

=

3

55

；
P(X=2)=

C 12 C 29

C 311

=

24

55

；
P(X=3)=P(A)=

28

55

．…（10分）
所以X的分布列为

ξ	1	2	3
P	3 55	24 55	28 55

…（11分）
Eξ=1×

3

55

+2×

24

55

+3×

28

55

=

27

11

．…（13分）