Question

18．已知三棱柱柱ABC-A₁B₁C₁，如图所示，其中CA⊥平面ABB₁A₁，四边形ABB₁A₁为菱形，∠AA₁B₁=60°，且AB=2AC，E为BB₁的中点，F为CB₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面CAA₁C₁；
（2）求二面角E一AF-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AE⊥平面ACC₁A₁，即可．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角E一AF-B₁的余弦值；

解答 证明：（1）∵CA⊥平面ABB₁A₁，AE?平面ABB₁A₁，
∴CA⊥AE，
∵四边形ABB₁A₁为菱形，∠AA₁B₁=60°，
∴△AA₁B₁和△ABB₁是正三角形，
∵E为BB₁的中点，∴AE⊥BB₁，AE⊥AA₁，
∵AA₁∩CA=A，∴AE⊥平面ACC₁A₁，
∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面CAA₁C₁；
（2）建立以A为坐标原点，AE，AA₁，AC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=2AC，E为BB₁的中点，F为CB₁的中点．
∴设AB=2AC=2，则AC=1，AE=$\sqrt{3}$，
则A（0，0，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，0，1），B₁（$\sqrt{3}$，1，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AE}$=$\sqrt{3}$x=0，
即x=0，y+z=0，
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
平面AFB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=$\sqrt{3}$x+y=0，
令x=$\sqrt{3}$，则y=-3，z=0，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{2}×\sqrt{3+9}}$=$\frac{-3}{\sqrt{2}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵二面角E一AF-B₁是锐二面角，
∴二面角E一AF-B₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．综合性较强，运算量较大．