【题目】已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
（1）求a；
（2）求函数f(x)的单调区间和极值；
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）先求导
，再由
是函数
的一个极值点，即
建立方程，解之即可；（2）由（1）确定函数
的解析式，再由
和
求得单调区间，从而可得极值.
试题解析：（1）因为
，所以
，
因此
．
（2）由（1）知， 
， 
， 
．
当
时， 
；当
时， 
．
所以f(x)的单调增区间是
、
；f(x)的单调减区间是
．
极大值为
，极小值为
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数的极值，属于难题．利用导数研究函数
的单调性进一步求函数极值的步骤：①确定函数
的定义域；②对
求导；③令
，解不等式得
的范围就是递增区间；令
，解不等式得
的范围就是递减区间；④根据单调性求函数
的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
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【题目】下列命题中：
①线性回归方程
必过点
；
②在回归方程
中，当变量
增加一个单位时， 
平均增加5个单位；
③在回归分析中，相关指数
为0.80的模型比相关指数
为0.98的模型拟合的效果要好；
④在回归直线
中，变量
时，变量
的值一定是-7．
其中假命题的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元 | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y/件 | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求线性回归方程
=
x+
，其中
=-20， 
=
-
.
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
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【题目】某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列问题:
(1)这种鱼卵的孵化率(孵化概率)是多少?
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
(3)要孵化5 000尾鱼苗,大概需要多少个鱼卵?(精确到百位)
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【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形， 
， 
，平面
平面
， 
为
的中点， 
是棱
上的点， 
， 
， 
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
大小为
，求线段
的长．
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【题目】已知椭圆
和直线
： 
，椭圆的离心率
，坐标原点到直线
的距离为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点
，若直线
过点
且与椭圆相交于
两点，试判断是否存在直线
，使以
为直径的圆过点
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
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【题目】有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
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