Question

【题目】如图，已知矩形所在平面与底面垂直，在直角梯形中， ， ， .

(1)求证： 平面；

(2)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先证明，以， ， 为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，结合题设根据线面垂直的判定定理可得结论；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：(1)证明：∵矩形所在平面与底面垂直，则底面.

∵， ，则，如图，以为坐标原点，以， ， 为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则， ， ， ，

∵，则， ，

且，则平面.

(2)设平面的一个法向量为，由于， ，

由，得，令得.

同理求得平面的一个法向量为.

设二面角的平面角为，

则.

又二面角为锐二面角，所以二面角的大小是.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量二面角及线面垂直的判定，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.