Question

【题目】如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD＝2AD＝8,AB＝2DC＝4.

(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 16.

【解析】试题分析：

(1)证得AD⊥BD,而面PAD⊥面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴面MBD⊥面PAD.

(2)作辅助线PO⊥AD,则PO为四棱锥P—ABCD的高,求得S四边形ABCD＝24.∴VP—ABCD＝16.

试题解析：

(1)证明:在△ABD中,∵AD＝4,BD＝8,AB＝4,∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.

又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD＝AD,BD面ABCD,∴BD⊥面PAD.

又BD面BDM,∴面MBD⊥面PAD.

(2)解：过P作PO⊥AD,

∵面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,即PO为四棱锥P—ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO＝2.

在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝2DC,∴四边形ABCD为梯形．

在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为＝,此即为梯形的高.

∴S四边形ABCD＝×＝24.

∴VP—ABCD＝×24×2＝16.