Question

17．已知函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ）是否存在最小的常数k，使得对于任意x∈（0，1），f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（e²）=$\frac{1}{2}$解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；
（II）分离参数得出k＞2x-2$\sqrt{x}$lnx（0＜x＜1）或k＜2x-2$\sqrt{x}$lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=$\frac{m（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
∵曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直，
∴f′（e²）=$\frac{m}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=2，∴f（x）=$\frac{2x}{lnx}$，
∴f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，
∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．    
（Ⅱ）∵f（x）＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$恒成立，即$\frac{2x}{lnx}$＞$\frac{k}{lnx}$+2$\sqrt{x}$?$\frac{k}{lnx}$＜$\frac{2x}{lnx}$-2$\sqrt{x}$，
①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则k＞2x-2$\sqrt{x}$•lnx恒成立，
令g（x）=2x-2$\sqrt{x}$•lnx，则g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{\sqrt{x}}$，
再令h（x）=2$\sqrt{x}$-lnx-2，则h′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，
所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故g′（x）=$\frac{h（x）}{\sqrt{x}}$＞0，
所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2
∴k≥2．
②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则k＜2x-2$\sqrt{x}$•lnx恒成立，
由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，
所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故g′（x）=$\frac{h（x）}{\sqrt{x}}$＞0，
所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2，
∴k≤2；                            
综合①②可得：k=2．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，函数恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题．