Question

2．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=4，C=$\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面积等于4$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC，求出ab的值，再结合余弦定理即可求解a，b；
（2）根据sinB=2sinA，正弦定理可得b=2a，结合余弦定理即可求解a，b；利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC求解．

解答 解：（1）∵c=4，C=$\frac{π}{3}$．
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=4$\sqrt{3}$
∴ab=16．
由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²=32，
解得：a=b=4．
（2）∵sinB=2sinA，
由正弦定理，可得b=2a，
根据余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，三角形面积的计算．属于基础题．