Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB，CB⊥平面A₁ABB₁，
（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，求三棱锥A-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，由此能证明AB₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）求出AB=AA₁=A₁B=4，从而${S}_{△A{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×4×4×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，三棱锥A-A₁BC的体积${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{C-{A}_{1}AB}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB，CB⊥平面A₁ABB₁，
AB₁?平面A₁ABB₁，
∴AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，
∵A₁B∩CB=B，∴AB₁⊥平面A₁BC．
解：（Ⅱ）∵AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，A₁A=AB，CB⊥平面A₁ABB₁，
∴AB=AA₁=A₁B=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
${S}_{△A{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×4×4×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱锥A-A₁BC的体积：
${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{C-{A}_{1}AB}$=$\frac{1}{3}×BC×{S}_{△{A}_{1}AB}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．