Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若l与直线x=a交于点P，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值；
（3）若|AB|=$\frac{4}{3}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （1）由已知结合隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求出A的坐标，设B（x₀，y₀），求得P的坐标，利用B在椭圆上可求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值；
（3）由题意可知直线l的斜率存在，设l：$y=k（x+\sqrt{2}）$，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出直线l的斜率，则直线l的倾斜角可求．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b=1，解得a²=2．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知，点A（$-\sqrt{2}$，0），设B（x₀，y₀），则l：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}（x+\sqrt{2}）$，
令x=$\sqrt{2}$，解得$y=\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，即P（$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$），
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}）•（\sqrt{2}，\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}）$=$\frac{\sqrt{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}）+2{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，
又∵B（x₀，y₀）在椭圆上，则${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}=2$，
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$=2；
（3）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l：$y=k（x+\sqrt{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2{y}^{2}-2=0}\\{y=k（x+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，可得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4\sqrt{2}{k}^{2}x+（4{k}^{2}-2）=0$，
由于△=8＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{3}$，
解得k=±1．
∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，是中档题．