Question

14．已知函数f（x）=e^x-ax，a∈R．
（1）若a=2，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a．a=2时，f′（x）=e^x-2．可得f（0），f′（0）．利用点斜式即可得出切线方程．
（2）当a＞1时，令f′（x）=e^x-a=0．解得x=lna＞0．令g（x）=x-lnx（x＞1），可得函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此a＞1时，lna＜a．再利用导数研究函数的单调性即可得出极小值即最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a．
a=2时，f′（x）=e^x-2．f（0）=1，f′（0）=1-2=-1．
∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=-（x-0），化为：x+y-1=0．
（2）当a＞1时，令f′（x）=e^x-a=0．解得x=lna＞0．
令g（x）=x-lnx（x＞1），则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=1＞0．
∴a＞1时，lna＜a．
∴当x∈[0，lna）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当x∈（lna，a]时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=lna时，函数f（x）在[0，a]上取得最小值，
f（lna）=e^lna-alna=a-alna．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．