Question

3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=120°，点E在AD上，AE=BC=AB=2，AD=3BC，点F为PD的中点，PB⊥AC．
（1）证明：PA=PC；
（2）求点F到平面PBE的距离．

Answer 1

分析 （1）连接EC，由已知可得：四边形ABCE是菱形．设AC∩BE=O点，可得AC⊥BE，且OA=OC．又PB⊥AC，可得AC⊥平面PBE．可得AC⊥PO．即可证明．
（2）取ED的中点M，连接FM，CM．又点F是PD的中点，可得FM∥PE，利用线面平行的判定定理可得：FM∥平面PBE．由已知可得：四边形BCME是平行四边形，可得CM∥BE，同理可得：CM∥平面PBE．可得平面CFM∥平面PBE，又CO⊥平面PBE，可得OC为平行平面CFM与平面PBE之间的距离，即为点F到平面PBE的距离．

解答 （1）证明：连接EC，由已知可得：四边形ABCE是菱形．
设AC∩BE=O点，则AC⊥BE，且OA=OC．
又PB⊥AC，PB∩BE=B．
∴AC⊥平面PBE．PO?平面PBE．
∴AC⊥PO．又OA=OC．
∴PA=PC．
（2）解：取ED的中点M，连接FM，CM．
又点F是PD的中点，∴FM∥PE，FM?平面PBE，PE?平面PBE．
∴FM∥平面PBE．
由EM∥BC，EM=BC，可得：四边形BCME是平行四边形，∴CM∥BE，同理可得：CM∥平面PBE．
又FM∩CM=M，∴平面CFM∥平面PBE，
又CO⊥平面PBE，∴CO⊥平面CFM．
∴OC为平行平面CFM与平面PBE之间的距离，即为点F到平面PBE的距离．
在Rt△OBC中，∠OBC=60°，BC=2，∴OC=$\sqrt{3}$．
∴点F到平面PBE的距离为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间距离、菱形的性质、之间三角形的边角关系、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．