Question

13．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，则下列结论正确的是（　　）

• A． 若f′（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点
• B． 函数f（x）的图象关于原点中心对称
• C． 若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减
• D． ?x₀∈R，f（x₀）=0

Answer 1

分析 A．不正确，例如取f（x）=x³，f′（0）=0，而0不是函数f（x）的极值点．
B．f′（x）=3x²+2ax+b，f^″（x）=6x+2a，令f^″（x）=0，解得x=-$\frac{a}{3}$，可得函数f（x）关于点$（-\frac{a}{3}，f（-\frac{a}{3}））$中心对称，即可判断出正误．
C．令f′（x）=3x²+2ax+b=3（x-x₀）（x-x₁）=0，若x₀是f（x）的极小值点，则x₁是函数f（x）的极大值点，可得x₁＜x₀，即可判断出正误．
D．由x→-∞时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，可得?x₀∈R，f（x₀）=0．

解答 解：A．若f′（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点，不正确，
例如取f（x）=x³，f′（0）=0，而0不是函数f（x）的极值点．
B．f′（x）=3x²+2ax+b，f^″（x）=6x+2a，令f^″（x）=0，解得x=-$\frac{a}{3}$，
∴函数f（x）关于点$（-\frac{a}{3}，f（-\frac{a}{3}））$中心对称，因此f（x）的图象关于原点不一定中心对称，不正确．
C．令f′（x）=3x²+2ax+b=3（x-x₀）（x-x₁）=0，若x₀是f（x）的极小值点，
则x₁是函数f（x）的极大值点，可得x₁＜x₀，
则f（x）在区间（-∞，x₀）上不具有单调性，因此不正确．
D．∵x→-∞时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，因此?x₀∈R，f（x₀）=0，正确．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．