Question

18．已知函数f（x）=x³+x²-ax+1，且f'（1）=4．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当0≤x≤a+1时，证明：$\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}＞x$．

Answer 1

分析 （1）依题意，f'（x）=3x²+2x-a，f'（1）=3+2-a=4，a=1，可得f'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
利用导数研究函数的单调性即可得出极值．
（2）由（1）知a=1，令$φ（x）=\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}=\frac{e^x}{{{x^2}-x+1}}$，则$φ'（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-x+1}）-（{2x-1}）{e^x}}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}=\frac{{{e^x}（{x-1}）（{x-2}）}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}$，
可知φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，令g（x）=x．利用单调性分别研究其极值与最值即可得出结论．

解答 （1）解：依题意，f'（x）=3x²+2x-a，f'（1）=3+2-a=4，a=1，
故f'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f'（x）＞0，则x＜-1或$x＞\frac{1}{3}$；令f'（x）＜0，则$-1＜x＜\frac{1}{3}$，
故当x=-1时，函数f（x）有极大值f（-1）=2，当$x=\frac{1}{3}$时，函数f（x）有极小值$f（{\frac{1}{3}}）=\frac{22}{27}$．
（2）证明：由（1）知a=1，令$φ（x）=\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}=\frac{e^x}{{{x^2}-x+1}}$，
则$φ'（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-x+1}）-（{2x-1}）{e^x}}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}=\frac{{{e^x}（{x-1}）（{x-2}）}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}$，
可知φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，令g（x）=x．
①当x∈[0，1]时，φ（x）_min=φ（0）=1，g（x）_max=1，所以函数φ（x）的图象在g（x）图象上方．
②当x∈[1，2]时，函数φ（x）单调递减，所以其最小值为$φ（2）=\frac{e^2}{3}$，g（x）最大值为2，而$\frac{e^2}{3}＞2$，
所以函数φ（x）的图象也在g（x）图象上方，综上可知，当0≤x≤a+1时，$\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}＞x$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．