Question

已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数的极小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）设,的导数为,令
求证：

Answer 1

(1)  (2)存在.  (3)略

（1）根据极值的信息，则选用导数法，先求f'（x），再由f（x）有极值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1从而求解
（2）先假存在，则根据条件，则有关于a的不等式，进而得到范围。
（3）构造函数利用导数的思想求解函数的最值得到证明
(1)∵,∴，
由题意∴，     ①      ……2分
∵有极值，∴方程有两个不等实根．
∴、   ∴．    ②
由①、②可得，．  ∴或．
故实数的取值范围是  …2分
(2)存在.……………1分   
由(1)令，


∴时，取极小值，则=,
∴……………………………………………………2分
若，即则 (舍)．……………………1分
若

∴存在实数,使得函数的极小值为1  ………1分
(3)∵,
  ……．l分




∴其中等号成立的条件为………………3分