Question

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（a、b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：求出f′（x），因为函数在区间[-1，3]上是减函数得到f（-1）和f（3）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然①即可求出b的最小值，求出a+b的值即可．
解答：f′（x）=x²+2ax-b，
因为函数f（x）在区间[-1，3]上是减函数即在区间[-1，3]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且9+6a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-6a≥9④，
设u=2a+b≥1，v=b-6a≤9，
假设a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（-6a+b）
=（2m-6n）a+（m+n）b，
对照系数得：2m-6n=1，m+n=1，解得：m=，n=，
∴a+b=u+v≥2，
则a+b的最小值是2．
故选C
点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，是一道综合题．