Question

20．已知数列{a_n}满足：a_n+a_n+1=2a_n+2，且a₁=1，a₂=2，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n+a_n+1=2a_n+2与a_n+1+a_n+2=2a_n+3作差、整理可知${b_{n+1}}=-\frac{1}{2}{b_n}$，进而可知数列{b_n}是首项为1、公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知${b_n}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，进而利用累加法计算可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+a_n+2=2a_n+3，
两式相减得：（a_n+2-a_n+1）=$-\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），即${b_{n+1}}=-\frac{1}{2}{b_n}$，
又∵b₁=a₂-a₁=1，
∴数列{b_n}是首项为1、公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列；
（Ⅱ）解：根据（Ⅰ）知，${b_n}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，
即${a_n}-{a_{n-1}}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-2}}$，${a_{n-1}}-{a_{n-2}}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-3}}$，…，${a_3}-{a_2}=（{-\frac{1}{2}}）$，${a_2}-{a_1}={（{-\frac{1}{2}}）^0}$，
把上面n-1个式子相加得：${a_n}-{a_1}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-2}}+{（{-\frac{1}{2}}）^{n-3}}+…+（{-\frac{1}{2}}）+1=\frac{{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}}{{1+\frac{1}{2}}}$，
即${a_n}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．