Question

【题目】已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点.

(Ⅰ) 求椭圆的离心率；

(Ⅱ) 当时，求的面积；

（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积；

（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，﹣2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．

法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y＝k1x﹣2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．

（Ⅰ）因为，所以

所以离心率

（Ⅱ）设

若，则直线的方程为

由，得

解得

设，则

（Ⅲ）法一：

设点，

因为，，所以

又点，都在椭圆上，

所以

解得或

所以 或

法二：

设

显然直线有斜率，设直线的方程为

由， 得

所以

又

解得 或

所以 或

所以或