Question

6．设函数f（x）=-xe^x．
（1）求f（x）的单调区间，并判断它在各区间上是增函数还是减函数；
（2）求f（x）在[-2，0]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=-e^x-xe^x=-（1+x）e^x，
令f′（x）=0，解得x=-1，
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	e-1	↘

即f（x）的单调区间为（-∞，-1）和（-1，+∞），
在（-∞，-1）上，f（x）是增函数，
在（-1，+∞）上，f（x）是减函数．
（2）因为$f（-2）=\frac{2}{e^2}$，$f（-1）=\frac{1}{e}$，f（0）=0，
所以f（x）在[-2，0]上的最大值是$\frac{1}{e}$，最小值是0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用是，是一道基础题．