【题目】已知矩形ABCD与直角梯形ABEF,∠DAF=∠FAB=90°,点G为DF的中点,AF=EF= ,P在线段CD上运动.
(1)证明:BF∥平面GAC;
(2)当P运动到CD的中点位置时,PG与PB长度之和最小,求二面角P﹣CE﹣B的余弦值.
【答案】
(1)证明:连接BD交AC于M,连MG,M为BD的中点.
∴MG为△BFD的中位线,
∴GM∥BF,而BF平面GAC,MG平面GAC,
∴BF∥平面GAC
(2)解:延迟AD至N,使DN=DG,连PN,PG,则△PDG≌△PDN,∴PG=PN
当P、B、N三点共线时,PG与PB长度之和最小,即PG与PB长度之和最小
∵P为CD中点,∴AD=DN.
在△ADF中,AD2+AF2=4DG2=4AD2,∴AD=1
AD,AB,AF两两垂直,如图建立空间直角坐标系,
∴D(0,0,1),E( ,
,0),B(0,2
,0),C(0,2
,1),
∴ =(
,﹣
,﹣1),
=(0,0,1),
=(0,2
,0)
设 =(x,y,z)为平面PCE的一个法向量,
∴ 即
,
令x=1,y=0,z= ,
.
同理可得平面BCE的一个法向量 =(1,1,0),
设二面角P﹣CE﹣B的大小为θ,θ为钝角,
∴cosθ=﹣ =
,
∴求二面角P﹣CE﹣B的余弦值:﹣
【解析】(1)连接BD交AC于M,连MG,M为BD的中点,证明GM∥BF,即可证明BF∥平面GAC.(2)延迟AD至N,使DN=DG,连PN,PG,说明当P、B、N三点共线时,PG与PB长度之和最小,AD,AB,AF两两垂直,如图建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面PCE的一个法向量,平面BCE的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角P﹣CE﹣B的余弦值.
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国内某知名大学有男生14000人,女生10000人,该校体育学院想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天运动的时间,如下表:(平均每天运动的时间单位:小时,该校学生平均每天运动的时间范围是).
男生平均每天运动时间分布情况:
女生平均每天运动时间分布情况:
(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1);
(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”,低于2小时的学生为“非运动达人”.
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量;
②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关?”
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求
的值域.
【答案】(1)对称轴为,最小正周期
;(2)
【解析】
(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到,由周期公式和对称轴公式可得答案;(2)由x的范围得到
,由正弦函数的性质即可得到值域.
(1)
令,则
的对称轴为
,最小正周期
;
(2)当时,
,
因为在
单调递增,在
单调递减,
在取最大值,在
取最小值,
所以,
所以.
【点睛】
本题考查正弦函数图像的性质,考查周期性,对称性,函数值域的求法,考查二倍角公式以及辅助角公式的应用,属于基础题.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知等比数列的前
项和为
,公比
,
,
.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求
的前
项和
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,AB⊥BC,BA=BC,BD是边AC上的高,沿BD将△ABC折起,当三棱锥A﹣BCD的体积最大时,该三棱锥外接球表面积为( )
A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π
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【题目】(Ⅰ)如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选.求y关于x的回归直线方程,并估计第6年该市的个人年平均收入(保留三位有效数字).
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收入y(千元) | 21 | 24 | 27 | 29 | 31 |
其中,
,
附1:
=
,
=
﹣
(Ⅱ)下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表:
受培时间一年以上 | 受培时间不足一年 | 总计 | |
收入不低于平均值 | 60 | 20 | |
收入低于平均值 | 10 | 20 | |
总计 | 100 |
完成上表,并回答:能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为“收入与接受培训时间有关系”.
附2:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附3:
K2=.(n=a+b+c+d)
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【题目】袋子中有四张卡片,分别写有“瓷、都、文、明”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件,用随机模拟的方法估计事件
发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估计事件发生的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】现在,很多人都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度,某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民,得到了一个市民是否认可的样本,具体数据如下列联表:
附:,
.
根据表中的数据,下列说法中,正确的是( )
A. 没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B. 有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D. 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
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