Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 (O为坐标原点).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到a＝c，bc＝1，解得方程；（2）设椭圆上一点为.P(cos θ，sin θ)，用点点距离表示|PF|＋|PM|，最终求得定值。

解析：

(1)解　由题意可知：椭圆的离心率e＝，则a＝c.

由△AOF的面积为S＝×b×c＝，则bc＝1，

由a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝c＝1.

∴椭圆的标准方程为；.

(2)证明　由(1)知：F(1，0)，以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

设P(cos θ，sin θ)，且cos θ>0，

则|PF|＝ ＝

由M是圆x2＋y2＝1的切点，则OM⊥PM，且|OM|＝1，

则|PM|＝ ＝cos θ，

∴|PF|＋|PM|＝－cos θ＋cos θ＝，

∴|PF|＋|PM|为定值.