Question

【题目】已知函数，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或或

【解析】试题分析：(1)求导，讨论的取值，研究导数的符号变换得到函数的单调区间；(2)通过研究所给区间和前一问的单调区间的关系进行求解．

试题解析：(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}．f′(x)＝.

①当a＝0时，f′(x)＝1，

则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．

②当a>0时，由f′(x)>0，得x>2a或x<0，

此时0<a<2a；由f′(x)<0，得0<x<a或a<x<2a，

则f(x)的单调递增区间为(2a，＋∞)，(－∞，0)，

单调递减区间为(0，a)，(a,2a)．

③当a<0时，由f′(x)>0，得x>0或x<2a，此时2a<a<0；由f′(x)<0，得2a<x<a或a<x<0，

则函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a，a)，(a,0)．

(2)①当a≤0时，由(1)可知，f(x)在(1,2)上单调递增，满足题意；

②当0<2a≤1，即0<a≤时，由(1)可知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，满足题意；

③当1<2a<2，即<a<1时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；

④当2a＝2，即a＝1时，由(1)可知，f(x)在(a,2a)上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意；

⑤当1<a<2时，因为f(x)的定义域为{x|x≠a}，显然f(x)在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；

⑥当a≥2时，由(1)可知，f(x)在(0，a)上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意．

综上所述，a≤或a＝1或a≥2.