Question

【题目】已知函数的图像在上连续不断，定义：

（），（），其中表示函数在上的最小值， 表示函数在上的最大值，若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.

（1）若， ，试写出， 的表达式；

（2）已知函数， ，判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由；

（3）已知，函数，是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

数学附加题

Answer 1

【答案】(1) ， ， ， . (2) .即存在，使得 是 上的“4阶收缩函数”. (3)

【解析】试题分析：（1）根据的最大值可求出， 的解析式；（2）根据函数， 上的值域，先求出， 的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数求导判断函数的单调性，进而写出， 的解析式，然后再由求出k的取值范围.

试题解析：

（1）由题意可得： ， ， ， .

（2）， ，

当时， ，∴， ；

当时， ，∴，∴；

当时， ，∴，

综上所述， .即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.

（3），令得或.函数的变化情况如下：

令得或.

（1）当时， 在上单调递增，因此， ， .因为是上的“二阶收缩函数”，所以，

①，对恒成立；

②存在，使得成立.

①即： 对恒成立，由解得或.

要使对恒成立，需且只需.

②即：存在，使得成立.

由解得或.所以，只需.

综合①②可得

（2）当时， 在上单调递增，在上单调递减，因此， ， ， ， ，显然当时， 不成立，

（3）当时， 在上单调递增，在上单调递减，因此， ， ， ， ，显然当时， 不成立.

综合（1）（2）（3）可得： .