Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx有两个不同的极值点α，β，设f（x）在点（-1，f（-1））处的切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂
（1）若m=1，n=-1，当t∈（-1，1）时，求函数f（x）在x∈[t，1]上的最小值；
（2）若k1=-

1

2

，|α-β|=

10

3

，求m，n；
（3）若α，β∈（-1，1），求k₁•k₂可能取到的最大整数值．

Answer 1

分析：（1）先根据m=1，n=-1，f′（x）=3x²+2x-1，求得原函数f（x）在x＜-1或x＞

1

3

是增函数，在-1＜x＜

1

3

时是减函数，由于t∈（-1，1）时，再分类讨论即可求得f（x）的最小值．（2）求出求出函数的导函数，因为k₁=f′（-1）得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入到|α-β|=

10

3

中得到②，然后①②解得b和c即可；
（3）由于f'（x）=x²+2mx+n，α，β∈（-1，1），得到

f′(-1)＞0 f′(1)＞0 f′(-m)＜0

即

1+2m+n＞0 1-2m+n＞0 m 2-2m 2+n＜0

利用线性规划的方法得到k₁k₂=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整数即可．

解答：解：（1）若m=1，n=-1，f′（x）=3x²+2x-1
此二次函数3x²+2x-1＞0时，x＜-1或x＞

1

3

，
∴原函数f（x）在x＜-1或x＞

1

3

是增函数，在-1＜x＜

1

3

时是减函数，
由于t∈（-1，1）时，
∴当t≥

1

3

时，f（x）的最小值为：f（t）=t³+t²-t，
当t＜

1

3

时，f（x）的最小值为：f（

1

3

）=-

5

27

．
（2）f′（x）=3x²+2mx+n
∵若k1=-

1

2

∴f′（-1）=-

1

2

3+2b+c=-

1

2

  ①
∵α，β是3x²+2mx+n=0的两根，∴α+β=-

2m

3

，αβ=

n

3

．
又∵|α-β|=

10

3

，∴|α-β|2=(α+β)2-4αβ=

4b2

9

-4•

c

3

=

10

9

②
由①②得

c= 9 2 m=4=

或

c= 1 2 b=2

．
（3）∵f'（x）=x²+2mx+n，α，β∈（-1，1），
∴

f′(-1)＞0 f′(1)＞0 f′(-m)＜0

即

1+2m+n＞0 1-2m+n＞0 m 2-2m 2+n＜0

利用线性规划的方法得到：k₁k₂=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整数值8．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会求直线的斜率．