Question

11．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4acosθ（a＞0）．
（1）求直线1的普通方程及曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，且|MN|=8$\sqrt{5}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程转化为ρ²sin²θ=4aρcosθ（a＞0），由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的普通方程．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C：y²=4ax．（a＞0），得：$\frac{1}{4}{t}^{2}+（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）t+（3+4a）=0$，由此利用韦达定理、弦长公式能求出结果．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），
∴消去参数t，得到直线l的普通方程为x+$\sqrt{3}y$-2=0．
∵曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4acosθ（a＞0），
∴ρ²sin²θ=4aρcosθ（a＞0），
由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得曲线C的普通方程为y²=4ax．（a＞0）．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）代入曲线C：y²=4ax．（a＞0），
整理，得：$\frac{1}{4}{t}^{2}+（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）t+（3+4a）=0$，
设方程的两个根为t₁，t₂，则${t}_{1}+{t}_{2}=-4（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）$，t₁t₂=4（3+4a），
∵直线l与曲线C相交于M，N两点，且|MN|=8$\sqrt{5}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{[-4（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）]^{2}-16（3+4a）}$=8$\sqrt{5}$，
由a＞0，解得a=1．

点评 本题考查直线和曲线的普通方程的求法，考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数的互化、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．