Question

6．若向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，其中ω＞0，记函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$，若函数f（x）的图象上相邻两个极值点之间的距离是$\frac{{\sqrt{16+{π^2}}}}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，$c=\sqrt{3}$，f（C）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），利用周期公式可求ω，从而可求函数f（x）解析式．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，由C的范围可求-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，从而解得C=$\frac{π}{3}$，由已知及余弦定理可求ab的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{sin^2}ωx-\frac{1}{2}=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，
由题意可知其周期为π，
故ω=1，则f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$，
又∵a+b=3，$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴（a+b）²-3ab=3，即ab=2，
∴由面积公式得△ABC的面积为：S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．