Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（3，1）在椭圆上，△PF₁F₂的面积为2$\sqrt{2}$，点Q是PF₂的延长线与椭圆的交点．
（1）①求椭圆C的标准方程；
②若∠PQF₁=$\frac{π}{3}$，求QF₁•QF₂的值；
（2）直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点．若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面积S_△PF1F2=$\frac{1}{2}$•2c•1，即可求得c=2$\sqrt{2}$，将点P（3，1）代入椭圆方程，由椭圆的性质a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；当θ=$\frac{π}{3}$时，根据椭圆的性质及完全平方公式，即可求得QF₁•QF₂的值；
（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x₁•x₂及y₁•y₂，由题意可知 $\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数k的值．

解答 解：（1）①由条件，可设椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，把点P（3，1）代入椭圆方程，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
由S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•1=2$\sqrt{2}$，即c=2$\sqrt{2}$…（2分）
又a²=b²+c²，
∴a²=12，b²=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$$+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
②当θ=$\frac{π}{3}$时，由$Q{F}_{1}+Q{F}_{2}=2a=4\sqrt{3}$，$Q{{F}_{1}}^{2}+Q{{F}_{2}}^{2}-2Q{F}_{1}Q{F}_{2}•cosθ$=F₁F₂²
可得QF₁•QF₂=$\frac{16}{3}$
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$，得4x²+6kx+3k²-12=0．
由韦达定理及直线方程可知：x₁+x₂=-$\frac{3k}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-12}{4}$，y₁y₂$\frac{{k}^{2}-12}{4}$．
∵以AB为直径的圆经过坐标原点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=k²-6=0
解得：k=$±\sqrt{6}$，此时△=120＞0，满足条件，
因此k=$±\sqrt{6}$…（14分）

点评 题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，韦达定理及向量数量积的坐标的综合运用，考查计算能力，属于中档题．