Question

4．（I）已知向量$\overrightarrow{OA}=（1，-2）$，$\overrightarrow{OB}=（4，-1）$，$\overrightarrow{OC}=（{m，m+1}）$．若$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{OC}$，求实数m的值；
（ II）已知矩形ABCD的边长为1，点E是边AB的中点，求$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知向量的坐标求得$\overrightarrow{AB}$的坐标，再由向量共线的坐标运算得答案；
（Ⅱ）由题意建系，利用坐标求解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{OA}=（1，-2）$，$\overrightarrow{OB}=（4，-1）$，
∴$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=（3，1）$，
又$\overrightarrow{OC}=（{m，m+1}）$，且$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{OC}$，
∴3（m+1）-m=0，得m=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）如图，D（0，1），E（$\frac{1}{2}$，0），B（1，0），C（1，1），
则$\overrightarrow{DE}=（\frac{1}{2}，-1）$，$\overrightarrow{CB}=（0，-1）$，
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}×0+（-1）×（-1）=1$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，建系求解起到事半功倍的效果，是中档题．