Question

1．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）在抽取的40名学生中，若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．
（2）由频率分布直方图求出该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的频率，由此能估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．
（3）在抽取的40名学生中，数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生分别有2人，4人，从中随机选取2名学生，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}$=7，由此能求出这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：
（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10=1，
解得a=0.03．
（2）由频率分布直方图得该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的频率为：
1-（0.005+0.010）×10=0.85，
∴估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为：
640×0.85=544（人）．
（3）在抽取的40名学生中，数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生分别有：
0.005×10×40=2人，0.010×10×40=4人，
从中随机选取2名学生，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}$=7，
∴这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{7}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．