Question

3．已知椭圆两焦点的坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P为椭圆上一点，|PF₁|，|F₁F₂|，|F₂P|成等差数列，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且知c=1，利用等差中项的概念求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：由椭圆两焦点的坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），
可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），且c=1，
由|PF₁|，|F₁F₂|，|F₂P|成等差数列，可得|PF₁|+|F₂P|=2|F₁F₂|=4c=4，
即2a=4，a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及等差中项的概念，是中档题．