Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设PA=1，∠ABC=60°，三棱锥E-ACD的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{8}$，求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接OE，推导出O是BD中点，PB∥OE，由此能证明PB∥面AEC．
（Ⅱ）由V_P-ABCD=2V_P-ACD=4V_E-ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出菱形ABCD的边长为$\sqrt{3}$，取BC中点M，连接AM．以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AE-C的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接OE，
∵底面ABCD为菱形，∴O是BD中点，
在△PDB中，∵E为PD的中点，∴PB∥OE，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥面AEC．
（Ⅱ）V_P-ABCD=2V_P-ACD=4V_E-ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设菱形ABCD的边长为a，
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×（2×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}）×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，取BC中点M，连接AM．
以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向为z轴，
建立如图所示坐标系．
则D（0，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），C（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，3），
平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角D-AE-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+9}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角D-AE-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本小题线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．