Question

10．已知函数f（x）=x²+2ax+2．
（1）若函数f（x）在R上是偶函数，求a的值 
（2）当a=-1时，求函数f（x）在[-5，5]上的最值；
（3）若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性，结合函数的对称轴求解即可．
（2）当a=-1时，求出函数的对称轴，然后通过求解函数f（x）在[-5，5]上的最值；
（3）利用二次函数的对称轴与求解的关系列出不等式求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+2ax+2函数f（x）在R上是偶函数，对称轴是y轴，可得a=0．
（2）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]…（2分）
∴x=1时，f（x）的最小值为1；x=-5时，f（x）的最大值为32           …（4分）
（3）函数$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$图象对称轴为（-1，1），抛物线开口向上…（10分）
∵∴f（0）=0在区间$\frac{0+b}{1+0}=0$，∴b=0上是单调函数，∴∵$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{2}{5}$或-a≥5…（13分）
故$\frac{{\frac{1}{2}a}}{{1+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}=\frac{2}{5}$的取值范围是a≤-5或∴a=1…（14分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，注意开口方向以及对称轴，考查计算能力．