Question

15．已知三角形ABC内的一点D满足$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，且|$\overrightarrow{DA}$=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|．平面ABC内的动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则$|\overrightarrow{BM}|$的最大值是$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{DA}$=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，可得D为△ABC的外心，又$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：由|$\overrightarrow{DA}$=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，可得D为△ABC的外心，
又$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，可得
$\overrightarrow{DB}•（\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}）=0$，即$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{CA}$，
同理可得$\overrightarrow{DC}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DA}⊥\overrightarrow{BC}$，可得D为△ABC的垂心，
则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．
由$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=-2，即有|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DB}$|cos120°=-2，
∴$|\overrightarrow{DA}{|}^{2}×（-\frac{1}{2}）=-2$，解得|$\overrightarrow{DA}$|=2，△ABC的边长为4cos30°=2$\sqrt{3}$，
以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，
可得B（3，-$\sqrt{3}$），C（3，$\sqrt{3}$），D（2，0），
由|$\overrightarrow{AP}$|=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可得M为PC的中点，即有M（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+sinθ}{2}$），
则|$\overrightarrow{BM}$|²=（3-$\frac{3+cosθ}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}+sinθ}{2}+\sqrt{3}$）²
=$\frac{（3-cosθ）^{2}}{4}+\frac{（3\sqrt{3}+sinθ）^{2}}{4}$=$\frac{37+12sin（θ-\frac{π}{6}）}{4}$，
∴当sin（θ-$\frac{π}{6}$）=1，即θ=$\frac{2π}{3}$时，取得最大值$\frac{49}{4}$，
∴$|\overrightarrow{BM}|$的最大值是$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．