Question

5．如图，过点P（0，2）的直线l与椭圆$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A，B两点，过点B作x轴的平行线交椭圆于D点．
（1）求证：直线AD过定点M并求点M的坐标；
（2）求三角形ABM面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用设而不求的思想，利用韦达定理建立关系，即可求解．
（2）B作x轴的平行线交椭圆于D点．ABM面积=PBM面积-APM面积建立关系，转化为不等式求解最大值．

解答 解：（1）显然直线l不垂直x轴，设l的方程为y=kx+2，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
由△=256k²-48（1+4k²）=64k²-48＞0，
得${k^2}＞\frac{3}{4}$，
∴$k＜-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}$…①
${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…②
${k_{AD}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{-{x_2}-{x_1}}}=\frac{{k{x_2}+2-（k{x_1}+2）}}{{-{x_2}-{x_1}}}=\frac{{k（{x_2}-{x_1}）}}{{-{x_2}-{x_1}}}=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_2}+{x_1}}}$，
直线AD方程为，$y-{y_1}=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_2}+{x_1}}}（x-{x_1}），y=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_2}+{x_1}}}x-\frac{{k{x_1}^2-k{x_2}{x_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}+k{x_1}+2$，
化简得：$y=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_2}+{x_1}}}x+\frac{{2k{x_1}{x_2}}}{{{x_2}+{x_1}}}+2$，
将①②代入得$y=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_2}+{x_1}}}x+\frac{1}{2}$
直线AD过定点：$M（0，\frac{1}{2}）$．
（2）由（1）可知$M（0，\frac{1}{2}）$，
∴${S_{△ABM}}={S_{△PBM}}-{S_{△PAM}}=\frac{1}{2}|{PM}|•||{x_2}|-|{x_1}||=\frac{3}{4}|{x_1}-{x_2}|$=$\frac{3}{4}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{{256{k^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}-\frac{48}{{1+4{k^2}}}}=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{{64{k^2}-48}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}$=$\frac{3}{4}\sqrt{\frac{{64{k^2}-48}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}=3\sqrt{\frac{{4{k^2}-3}}{{{{（4{k^2}-3）}^2}+8（4{k^2}-3）+16}}}=3\sqrt{\frac{1}{{4{k^2}-3+\frac{16}{{4{k^2}-3}}+8}}}$=$3\sqrt{\frac{1}{{4{k^2}-3+\frac{16}{{4{k^2}-3}}+8}}}≤3\sqrt{\frac{1}{8+8}}=\frac{3}{4}$
当且仅当$4{k^2}-3=\frac{16}{{4{k^2}-3}}$即${k^2}=\frac{7}{4}$时取等号．
故得三角形ABM面积的最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了圆锥曲线椭圆与直线的位置关系的运用和计算能力，基本不等式的运用．属于中档题．