Question

20．已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，-5≤f（x）≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数范围，求解f（x）的值域，根据-5≤f（x）≤1．即可求解a，b的值；
（2）由g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）求解g（x）的解析式，lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．即可求g（x）的单调区间．

解答 解：f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1．
∴-2a≤-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）≤a．
则b≤f（x）≤3a+b．
∵-5≤f（x）≤1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=-5
得f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$），即g（x）=-4sin[2（x$+\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{6}$]-1=-4sin（2x+$\frac{7π}{6}$）-1=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．
可得：4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1＞1．
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$．
可得：$2kπ+\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
求g（x）的单调增区间．
∴$2kπ+\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：kπ＜x≤$kπ+\frac{π}{6}$．
g（x）的单调增区间为（kπ，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z．
求g（x）的单调减区间．
∴$2kπ+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$＜$2kπ+\frac{5π}{6}$，
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x$＜kπ+\frac{π}{3}$
单调减区间为[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$），k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象即性质的运用和化简能力，解析式的确定．着重考查了对数不等式的求法，讨论三角函数的范围，再结合三角函数的性质求解单调区间，属于中档题．