Question

15．已知函数f（x）=x+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥6的解集M；
（2）记（1）中集合M中元素最小值为m，若a，b∈R⁺，且a+b=m，求$（{\frac{1}{a}+1}）（{\frac{1}{b}+1}）$的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集M即可；
（2）求出a+b=2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）≥6，即为x+|x+2|≥6，
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤-2\\ x-x-2≥6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞-2\\ x+x+2≥6\end{array}\right.$即x≥2
∴M={x|x≥2}．
（2）由（1）知m=2，即a+b=2，且a，b∈R⁺，
∴$（{\frac{1}{a}+1}）（{\frac{1}{b}+1}）=（{\frac{a+b}{2a}+1}）（{\frac{a+b}{2b}+1}）$，
=$（{\frac{b}{2a}+\frac{3}{2}}）（{\frac{a}{2b}+\frac{3}{2}}）=\frac{5}{2}+\frac{3}{4}（{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}）≥\frac{5}{2}+\frac{3}{4}×2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}=4$．
当且仅当a=b=1时，$（{\frac{1}{a}+1}）（{\frac{1}{b}+1}）$取得最小值4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．