Question

3．已知函数f（x）=|x-4|-t，t∈R，且关于x的不等式f（x+2）＜2的解集为（-1，5）．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）设a，b，c均为正实数，且a+b+c=t，求证：$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出不等式的解集，根据对应关系求出t的值即可；（Ⅱ）求出a+b+c=1，根据柯西不等式的性质证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x+2）＜2，即|x-2|-t＜2，
故|x-2|＜t+2，解得：-t＜x＜4+t，
由不等式的解集是（-1，5），
故$\left\{\begin{array}{l}{-t=-1}\\{t+4=5}\end{array}\right.$，解得：t=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）t=1，故a+b+c=1，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$
=（$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$）（a+b+c）
≥$\frac{a}{\sqrt{b}}$•$\sqrt{b}$+$\frac{b}{\sqrt{c}}$•$\sqrt{c}$+$\frac{c}{\sqrt{a}}$•$\sqrt{a}$
=a+b+c=1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查柯西不等式的应用，是一道中档题．