Question

9．下列说法错误的是（　　）
①命题p：?x＞2，2^x-3＞0的否定是?x₀＞2，2${\;}^{{x}_{0}}$-3≤0；
②已知复数z的共轭复数为$\overline{z}$，若（z+2$\overline{z}$）（1-2i）=3-4i（i为虚数单位），则在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限；
③已知x．y∈R，且2^x+3^y＞2^-y+3^-x，则x-y＜0；
④若$\overrightarrow{a}$=（λ，-2），$\overrightarrow{b}$=（-3，5），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角，则λ的取值范围是λ∈（-$\frac{10}{3}$，+∞）；
⑤设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$，若存在f（x）的极值点x₀满足x₀²+[f（x₀）]²＜m²，则m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，∞）．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ④⑤

Answer 1

分析 ①根据全称命题的否定是特称命题，写出即可判断正误；
②设出复数z=a+bi，利用复数的运算求出a、b的值，
即可判断复数z所对应的点位于第几象限；
③可举例说明命题错误；
④求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角时λ的取值范围即可；
⑤求出f（x）的极值点，由题意得出关于m的不等式，求出解集即可．

解答 解：对于①，命题p：?x＞2，2^x-3＞0的否定是?x₀＞2，2${\;}^{{x}_{0}}$-3≤0，正确；
对于②，设复数z=a+bi，a、b∈R，则$\overline{z}$=a-bi，
∴（z+2$\overline{z}$）（1-2i）=（3a-bi）（1-2i）=（3a-2b）-（6a+b）i=3-4i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b=3}\\{6a+b=4}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{11}{15}$，b=-$\frac{2}{5}$；∴z=$\frac{11}{15}$-$\frac{2}{5}$i，
在复平面内，复数z所对应的点（$\frac{11}{15}$，-$\frac{2}{5}$）位于第四象限，②正确；
对于③，x．y∈R，且2^x+3^y＞2^-y+3^-x，
当x=y=1时，满足2+3＞2^-1+3^-1，则x-y=0，∴③错误；
对于④，$\overrightarrow{a}$=（λ，-2），$\overrightarrow{b}$=（-3，5），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，且$\frac{λ}{-3}$≠-$\frac{-2}{5}$，解得λ＞-$\frac{5}{3}$且λ≠-$\frac{6}{5}$；
∴λ的取值范围是λ∈（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{6}{5}$）∪（-$\frac{6}{5}$，+∞），∴④错误；
对于⑤，由题意，f（x₀）=±$\sqrt{3}$，即$\frac{{πx}_{0}}{m}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得x₀=$\frac{2k+1}{2}$m；
再由x₀²+[f（x₀）]²＜m²，即x₀²+3＜m²，
可得当m²最小时，|x₀|最小，|x₀|最小为$\frac{1}{2}$|m|，
∴m² ＞$\frac{1}{4}$m²+3，∴m²＞4；解得m＞2，或m＜-2；
则m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，∞），⑤正确．
综上，错误的命题是③④．
故选：C．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数、不等式、平面向量以及全称命题、特称命题的应用问题，是综合题．