Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a-c）cos B．则sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理和两角和的正弦公式可求cosB的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

解答 解：∵bcosC=（4a-c）cos B，
∴由正弦定理，得：（4sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即4sin Acos B=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin A．
在△ABC中，0＜A＜π，sin A＞0，
所以cosB=$\frac{1}{4}$．
又因为0＜B＜π，
故sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算了和转化思想，属于基础题．