Question

7．已知$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是互相垂直的单位向量，若$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，则实数λ的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$，再由$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°列式求得实数λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是互相垂直的单位向量，
∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$．
又$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，
（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$）=$λ-\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=2$，|$λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$|=$\sqrt{（λ\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{{λ}^{2}+1}$．
∴cos60$°=\frac{1}{2}$=$\frac{（\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{2}}）•（λ\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）}{|\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{2}}||λ\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{λ-\sqrt{3}}{2\sqrt{{λ}^{2}+1}}$，
解得：$λ=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角得求法，是中档题．