Question

2．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（3）求二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面A₁ACC₁，
BC⊥AC₁，进而证明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}A}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$
利用d=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（3）平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），利用$cos＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），
设平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}A}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（2，0，0），
∴d=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴C₁到平面A₁AB的距离是$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
（3）平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），
∴$cos＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
设二面角A-A₁B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了空间位置关系与距离空间角、数量积运算性质、向量夹角公式、点到平面的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．