Question

17．使f （x）=$\frac{2x}{|x|+1}$的定义域与值域均为[a，b]的有序实数对（a，b）有3个．

Answer 1

分析 利用题意首先确定函数f（x）的单调性和奇偶性，然后讨论函数f（x）与函数y=x交点的个数，最近确定满足题意的有序实数对的个数即可．

解答 解：由函数的解析式可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时：$f（x）=\frac{2x}{x+1}=\frac{2}{1+\frac{1}{x}}$，据此可得函数在区间（0，+∞）上单调递增，
结合函数为奇函数可得函数在R上单调递增，
解方程：$f（x）=\frac{2x}{|x|+1}=x$ 可得：x₁=0，x₂=1，x₃=-1，
即函数f（x）与函数y=x有三个交点，
则满足题意的有序实数对（a，b）有${C}_{3}^{2}=3$ 个．

点评 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，转化的思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．