Question

2．已知命题P：?x∈R，x²+2x-a=0；命题Q：当$x∈[{\frac{1}{3}，3}]$时，$x+\frac{4}{x}＞a$恒成立．若P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出两个命题是真命题时，a的范围，然后利用复合命题的真假，推出命题P，Q一真一假，然后求解a的范围．

解答 解：当P为真命题时，△=4+4a≥0，解得a≥-1；                 …（2分）
当Q为真命题时，$f（x）=x+\frac{4}{x}$在区间$[{\frac{1}{3}，2}]$上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，
${（{x+\frac{4}{x}}）_{min}}=4$，则a＜4．…（5分）
由于P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，则命题P，Q一真一假．…（6分）
（1）若P真Q假，则$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a≥4}\end{array}}\right.$，解得a≥4；                         …（8分）
（2）若P假Q真，则$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜4}\end{array}}\right.$，解得a＜-1．…（10分）
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，-1）∪[4，+∞）．…（12分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．