Question

10．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，$AB=6，BC=2\sqrt{3}$，且四棱锥O-ABCD的体积为$8\sqrt{3}$，则R等于（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{7}}}{9}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径．

解答 解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，
∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{1}{2}\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{3}$，
由矩形ABCD的面积S=AB•BC=12$\sqrt{3}$，
则O到平面ABCD的距离h满足：$\frac{1}{3}$×12$\sqrt{3}$h=8$\sqrt{3}$，
解得h=2，
故球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=4$，
故选：A．

点评 本题考查球内几何体的体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．