Question

18．已知函数f（x）=（x²-mx-m）e²+2m（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处取得根值，求m的值和函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函数解析式，由导函数大于0和小于0分别求得原函数的单调区间；
（Ⅱ）由f′（x）=[x²+（2-m）x-2m]e^x=e^x（x+2）（x-m），可得当m≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，得到函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
可得m≥0，取交集得m=0；当m＞0时，利用导数求出函数的最小值，由最小值大于0求出m的范围，最后取并集得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，f′（x）=[x²+（2-m）x-2m]e^x，
由f′（0）=-2m=0，解得m=0．
此时f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x，
令f（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜0，
则函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），
单调递减区间是（-2，0）；
（Ⅱ）∵f′（x）=[x²+（2-m）x-2m]e^x=e^x（x+2）（x-m），
当m≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
则函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=m≥0，
∴m=0；
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞m，令f′（x）＜0，解得0＜x＜m，
则函数f（x）在区间（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（m）=-m{e^m}+2m＞0$，即e^m＜2，解得0＜m＜ln2．
综上所述，实数m的取值范围为[0，ln2）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，是中档题．