Question

13．如图，已知矩形ABCD中，$AB=\frac{4}{3}BC=8$，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B-ACD，则其外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{500π}{9}$
• B． $\frac{250π}{3}$
• C． $\frac{1000π}{3}$
• D． $\frac{500π}{3}$

Answer 1

分析 由题意，三棱锥B-ACD的外接球，根据ABCD是矩形，矩形对角线互相平分性质可知OA=OC=OD=OB．点O为四面体的外接球的球心，即可求解

解答 解：设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知OA=OC=OD=OB．
∴点O到四面体的四个顶点A，B，C，D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图所示．
∴外接球的半径5．
外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{500π}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了球内接多面性问题，要抓住球心到各顶点的距离相等来解题．属于中档题．