Question

4．已知两点A（-2，0），B（0，1），点P是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出BA的直线方程和|AB|的长度，点P到直线AB的距离最大值时，可得△PAB面积的最大值．

解答 解：两点A（-2，0），B（0，1），
∴BA的直线方程为：x-2y+2=0，
|AB|=$\sqrt{5}$．
点P到直线AB的距离最大值为圆心到直线的距离d+r，圆（x-1）²+y²=1，其圆心为（1，0）
d=$\frac{|1+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴点P到直线AB的距离最大值为：$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$．
△PAB面积的最大值S=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，点P到直线AB的距离最大值时，可得△PAB面积的最大值是解决本题的关键．