Question

8．已知函数f（x）=lnx+a（x-1）²，其中a＞0．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：$\frac{1}{2}-ln2＜f（{x_2}）＜0$．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出f（1），然后得到取得坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程；（2）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数f（x）的单调性；
（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（1）=0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-1），f′（1）=1，
曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程：y=x-1….2′
（2）∵f（x）=lnx+ax²-2ax+a∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}+2ax-2a=\frac{{2a{x^2}-2ax+1}}{x}（{x＞0}）$
①当△=4a²-8a≤0即0＜a≤2时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间是（0．+∞）．
②当△=4a²-8a＞0时，即a＞2时，令f′（x）=0得${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2a}}}{2a}，{x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2a}}}{2a}$．
∴f（x）的单调递增区间是（x₂，+∞）和（0，x₁），单调递减区间是（x₁，x₂）．…6′
（3）证明：∵f（x）在（x₂，+∞）单调递增，且x₂＜1，
∴f（x₂）＜f（1）=0，不等式右侧证毕….8′
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，∴a＞2．
∴$\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$，$f（{x_2}）=ln{x_2}+a{（{{x_2}-1}）^2}＞ln{x_2}+2{（{{x_2}-1}）^2}$
令$g（x）=lnx+2{（{x-1}）^2}（{\frac{1}{2}＜x＜1}）$，$g′（x）=\frac{1}{x}+4（x-1）$=$\frac{4{x}^{2}-4x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）^{2}}{x}$＞0，
∴g（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$单调递增．
∴$g（x）＞g（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-ln2$∴$f（{x_2}）＞\frac{1}{2}-ln2$．不等式左侧证毕．
综上可知：$\frac{1}{2}-ln2＜f（{x_2}）＜0$．…..12′

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的单调区间的求法，函数的极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．