Question

7．讨论函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$（a≠$\frac{1}{2}$）在（-2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 首先将函数的解析式整理变形，然后结合函数单调性的定义整理计算即可求得最终结果．

解答 解：函数的解析式：$f（x）=\frac{ax+1}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$，
设x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}-\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}=\frac{（1-2a）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，则 $\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}＞0$，
当 $1-2a＜0，a＞\frac{1}{2}$时，f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）单调递增；
当 $1-2a＞0，a＜\frac{1}{2}$时，f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）单调递减．

点评 本题考查函数的单调性的应用，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．