Question

17．已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：e${\;}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}$＞n+1（n∈N*）．

Answer 1

分析 （1）a=e时，f（x）=e^x-ex-1，f′（x）=e^x-e，利用导数的性质求得单调区间．
（2）f′（x）=e^x-a，由x≥0，得出e^x≥1．对参数a进行讨论得出a的取值范围．
（3）求出x≥ln（x+1），（当且仅当x=0时取等）．取x=$\frac{1}{n}$，则$\frac{1}{n}$＞ln（1+$\frac{1}{n}$），即$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）-lnn，累加即可．

解答 解：（1）a=e时，f（x）=e^x-ex-1，f′（x）=e^x-e，
当x＜1时，f′（x）＜0恒成立；当x＞1时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的减区间是（-∞，1）；增区间是（1，+∞）； 
（2）f′（x）=e^x-a，∵x≥0，∴e^x≥1．
①若a≤1，则f′（x）≥0（仅当a=1且x=0时取等号），
∴f（x）增于[0，+∞），∴f（x）≥f（0）=0，合乎题意；
②若a＞1，令f′（x）=0得，x=lna，易得f（x）在（-∞，lna）上单调减，
在（lna，+∞）上单调增，而f（0）=0，所以f（x）在（0，lna）上不恒负，不合题意．
综上所述知a的取值范围是（-∞，1]；
（3）欲证e${\;}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}$＞n+1（n∈N*），即证1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1），
由（2）知，当a=1时，e^x-x-1≥0，即当x≥0时，x≥ln（x+1），（当且仅当x=0时取等）．
取x=$\frac{1}{n}$，则$\frac{1}{n}$＞ln（1+$\frac{1}{n}$），即$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）-lnn，
同理，$\frac{1}{n-1}$＞lnn-ln（n-1），$\frac{1}{n-2}$＞ln（n-1）-ln（n-2），…，1＞ln2-ln1，
以上各式相加，得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1），故原不等式成立．

点评 本题主要考查利用导数求得函数得单调区间和利用导数求参数的取值范围以及不等式的证明，属于中档题型．