Question

8．下列不等式中，正确的个数为（　　）
①若x＞0且x≠1，则$lnx+\frac{1}{lnx}≥2$；
②a²+b²+2≥2a+2b；
③${x^2}+\frac{1}{{{x^2}+1}}≥1$；
④若a＞0，b＞0，则$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}≥a+b$；
⑤任意的x＞0，都有e^x＞x+1．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用题意结合不等式的性质和函数的性质逐一考查所给的不等式即可求得最终结果．

解答 解：逐一考查所给的不等式：
①当$x=\frac{1}{e}$ 时，$lnx+\frac{1}{lnx}=-2＜2$，该命题错误；
②（a²+b²+2）-（2a+2b）=（a-1）²+（b-1）²≥0，
则a²+b²+2≥2a+2b，该命题正确；
③x²+1≥1，则${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}+1}=（{x}^{2}+1）+\frac{1}{{x}^{2}+1}-1≥1+\frac{1}{1}-1=1$，该命题正确；
④$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}-（a+b）=（\frac{{a}^{2}}{b}-\frac{{b}^{2}}{b}）+（\frac{{b}^{2}}{a}-\frac{{a}^{2}}{a}）=\frac{（a+b）{（a-b）}^{2}}{ab}≥0$，
则 $\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}≥a+b$，该命题正确；
⑤函数y=e^x在x=0处的切线方程为y=x+1，结合函数y=e^x和y=x+1的图象可得：
任意的x＞0，都有e^x＞x+1，该命题正确；
综上可得：不等式中，正确的个数为4个．
故选：D．

点评 本题考查均值不等式的性质，代数式比较大小的方法，导函数研究函数的切线，数形结合的思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．